Кафедра прикладної математики
Властивості cингулярних розв’язків диференціальних рівнянь, спектральний аналіз різницевих систем та моделювання нелінійних процесів

Склад наукової групи: Деркач В.О., доктор фіз.-мат наук, проф., зав. каф., Скрипнік І.І., доктор фіз.-мат.наук, член-кор НАНУ (співкерівники), Буряченко К.О., канд. фіз.-мат наук, доцент, снс, Шань М.О., канд. фіз.-мат наук, мнс, викладач, Трофименко О.Д., канд. фіз.-мат наук, доцент кафедри, снс, орбань Ю.С., канд. фіз.-мат наук, доцент кафедри, снс.

Досліджено слабкі невід’ємні розв’язки квазілінійних параболічних рівнянь, модельними випадками яких  є подвійно нелінійне анізотропне параболічне рівняння з абсорбційним членом та анізотропне рівняння пористого середовища, в тому числі- з градієнтною абсорбцією. Для них отримано поточкові верхні оцінки, які записані в термінах відстані до межі області. Отримано поточкові оцінки через нелінійних потенціал Ріса від правої частини рівняння, що дозволило вивчити питання регулярності розв’язків-довести локальну обмеженість на неперервність слабких розв’язків анізотропного рівняння пористого середовища. Введено також нові класи узагальнених граничних трійок для симетричних операторів в просторі Гільберта – B-узагальнені, S-узагальнені і ES-узагальнені граничні трійки  і досліджено відповідні функції Вейля. Показано, що клас функцій Вейля B-узагальнених граничних трійок збігається з класом строгих неванліннівських оператор-функцій, клас функцій Вейля S-узагальнених граничних трійок збігається з класом  неванліннівських оператор-функцій з інваріантною областю визначення, клас функцій Вейля ES-узагальнених граничних трійок співпадає з класом  неванліннівських оператор-функцій, таких що квадратична форма уявної частини має  інваріантну областю визначення. Для кожного з цих класів розв’язано задачу реалізації оператор функцій у вигляді функцій Вейля. Отримані результати застосовано до класифікації граничних задач для оператора Лапласа в областях з гладкою межею і Ліпшицевою межею, змішаних граничних задач.

Побудовано двовимірні власні функції магнітного і електричного векторного потенціалів у вигляді розкладання їх в ряди за ортогональними поліномами Чебишова 1-го та 2-го роду для опису щільності струму у смужковій лінії передачі із ступінчастою неоднорідністю кінцевої довжини у ній..

Розроблено методику розрахунку та вивчено резонансні властивості двошарової розподіленої неоднорідності у вигляді гребінчастого щілинного резонатору у заземлюючому шарі мікросмужкової лінії передачі у поєднанні із ступінчастою (ємнісною) неоднорідністю в ній. Доведено, що така структура в цілому має складну характеристику розсіювання із широкими смугами пропускання та запирання, і тому може застосовуватися для проектування багатофункціональних пристроїв, що містять частоти резонансного відбиття та резонансного пропускання сигналу.

Результати, отримані в рамках проекту збільшать обсяг знань у даній науковій галузі та знайдуть потенційних користувачів як і Україні (Київський національний університет ім. Т. Шевченка, Національний педагогічний університет ім. М. Драгоманова, Національний політехнічний університет КПІ ім. Сікорського, Харківський національний університет ім. В.Каразіна, Інститут прикладної математики і механіки НАНУ, Інститут математики НАНУ, Інститут механіки ім. Тимошенка НАНУ),  Італії (Університет “La Sapienza”, університети м. Парма, Неаполя, Флоренції), Франції (Університет П’єра та Марії Кюрі, університет м. Тур), Австрії (Університет м. Грац) Німеччини (Університет м. Любек),  Фіндяндії (університет м. Вааса).


Сфери застосування результатів

У сфері науки – математична фізика, теорія функцій, функціональний аналіз, прикладна електродинаміка. У промисловості – радіотехніка високих частот та мікрохвильового діапазону. КБ підприємств передавачів побутового та оборонного призначення\Ринок засобів комунікацїї та зв’язку (мобільного тощо).

Практична цінність результатів виконання проекту полягає в тому, що  квазілінійні рівняння  структури дифузії-сильної нелінійної абсорбції, анізотропні еліптичні і параболічні рівняння мають застосування в моделюванні нелінійних фізичних процесів. До таких процесів можна віднести процеси з нерегулярними та сингулярними даними, а також ті, що відбуваються у сильно неоднорідних середовищах, наприклад, анізотропія,  дифузія (в тому числі і багатофазна), що може бути  використано в металофізиці (при дослідженні процесів дифузії сплавів різних матеріалів).

Розроблені методики та алгоритми аналізу багатошарових неоднорідностей у лініях передачі планарного типу використовувалися для проектування компактних пристроїв, що фільтрують, із розширеними функціональними можливостями. Це фільтри нижніх частот, смугові фільтри, фільтри гармонік та вихідні ланки високоефективних активних пристроїв  із контролем рівня вищих гармонік.


Найбільш вагомі публікації про розробку

  1. Skrypnik I. I.  Harnack’s Inequality for Quasilinear Elliptic Equations with Singular Absorption Term  /  Potential Analysis. — 2019. — Vol. 50. — P. 521—539.

https://link.springer.com/article/10.1007/s11118-018-9691-9

  1. Шань М. О. Апрiорнi оцiнки типу Келлера-Оссермана для двiчi нелiнiйних анiзотропних, параболiчних рiвнянь з абсорбцiєю / Працi Iнституту прикладної математики i механiки НАН України. — 2018. — Т. 32. — С. 149—159.

https://drive.google.com/file/d/1S2sOT8I9RiX5Dw43qkH8Jc8CNtImdILk/view

  1. Shan M. A., Skrypnik I. I. Keller-Osserman estimates and removability result for the anisotropic  porous medium equation with gradient absorption term /  Mathematische Nachrichten. — 2019. — Vol. 292. — P. 436—453.

https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/mana.201700177

  1. Buryachenko K.O. Riesz potentials and pointwise estimates of solutions to anisotropic porous medium equation / Buryachenko K.O., Skrypnik I.I.// Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications (2019) N 178, p. 56-85.

https://www.mendeley.com/catalogue/riesz-potentials-pointwise-estimates-solutions-anisotropic-porous-medium-equation/

  1. Buryachenko K.O. Local subestimates of solutions to double-phase parabolic equations via nonlinear parabolic potentials /K.O.Buryachenko //Journal of Mathematical Sciences (United States) (2019) 242(6), p. 772-786.

https://www.mendeley.com/catalogue/local-subestimates-solutions-doublephase-parabolic-equations-via-nonlinear-parabolic-potentials/ 

  1. Derkach V.A. Rigged de Branges-Pontryagin spaces and their applications to extentions and embedding/V. A. Derkach, H. Dym// Journal of Functional Analysis- (2019), 277(1), p. 31-110.

https://www.mendeley.com/catalogue/rigged-brangespontryagin-spaces-application-extensions-embedding/

  1. D. Strelnikov. Boundary triples for integral systems on the half-line. Methods of Functional Analysis and Topology, V.25, (2019), no. 1, pp. 84-96. (http://mfat.imath.kiev.ua/article/?id=1143)

 L. Pestov, D. Strelnikov. Approximate controllability of the wave equation with mixed boundary conditions. Journal of Mathematical Sciences, V.239, (2019), no. 2, pp. 75-85. (https://doi.org/10.1007/s10958-019-04289-8) 

  1. Olga Trofimenko, Anastasiia Minenkova. Integral identities for polyanalytic functions // Topics in Classical and Modern Analysis, Appl. Numer. Harmon. Anal., Birkhäuser/Springer, 2019. – p.279-291.

https://doi.org/10.1007/978-3-030-12277-5_17


Контакти:

Кафедра прикладної математики

v.derkach@donnu.edu.ua

k.buriachenko@donnu.edu.ua

o.trofymenko@donnu.edu.ua